📌 먼치 POINT

✅베티 수
- 계산 가능한 불변량
- 오일러 지표를 설명하는 값

✅베티 제로
- 덩어리는 위상적인 불변값
- 하나의 덩어리로 이루어진 공간은 베티 제로가 1
- 덩어리의 개수가 다르다면, 서로 다른 공간

✅베티 퍼스트 넘버
- 구멍의 개수를 통해 형상화 가능
- 토러스는 가운데 뚫린 구멍과, 토러스 전체를 따라가는 구멍으로 구멍이 2개
- 토러스의 베티 퍼스트 넘버는 2
- 빨대는 납작한 토러스로, 베티 퍼스트 넘버는 1

✅베티 수의 가치
- 빅데이터 분석에서 유용하게 사용

베티 수란 무엇인가?

계산할 수 있는 불변량 중에 대표적인 것이 바로 베티 수입니다. 이탈리아 수학자 엔리코 베티의 이름을 따서 명명된 이 개념은 오일러 지표의 일반화된 값으로 볼 수 있습니다. 오일러 지표가 v - e + f (꼭짓점 - 모서리 + 면)라는 공식으로 표현되는 불변량이기에, 오일러 지표가 왜 불변량인가에 대한 연구가 많았는데요, 현재는 베티 수가 불변량이고, 오일러 지표는 베티 수에 의해 설명되기에, 불변한다는 형태로 설명이 되고 있습니다. 

덩어리의 개수

눈에 보이지 않는 공간이지만 계산을 통해서 얻을 수 있는 불변량인 베티 수는 구멍을 수로 형상화한 것이라고 표현할 수 있습니다. 베티 수를 이해하기 위해 구체적인 예시를 살펴보겠습니다. 앞서 보일러 지표를 통해 ㅐ와 ㅔ가 다르다는 이야기를 했었습니다. 그렇지만, 이는 다른 방법으로도 다름을 증명할 수 있습니다. ㅐ는 하나의 덩어리로, 모두 연결되어있습니다. 그렇지만 ㅔ는 ㅓ 와 ㅣ 로 나누어져 있습니다. 즉, 덩어리가 두 개라는 뜻입니다. 

덩어리 또한 위상적인 불변값이기에, 이들의 개수를 나타내는 값이 바로 제로 번째 베티수, 베티 제로입니다. 연결된 하나의 덩어리로 이루어진 공간은 베티 제로가 1이고, 서로 분리된 두 개의 덩어리로 이루어진 공간은 베티 제로가 2입니다. 덩어리의 개수도 위상적 불변량이므로, 이를 통해 두 공간이 서로 다르다는 것을 설명할 수 있습니다.

구멍의 개수

베티 수에는 또 다른 중요한 개념이 있습니다. 바로 구멍의 개수를 나타내는 베티 퍼스트 넘버입니다. 어떤 모양에 구멍이 뚫려 있으면 그 구멍이 몇 개 있는지를 First Betti Number라고 부릅니다.

예를 들어, 동그라미는 구멍이 하나 있으므로 베티 수 1이 1입니다. 숫자 8과 같은 모양이 있으면 구멍이 두 개 있으므로 베티 수 1이 2가 됩니다. 이와 같은 방식으로 구멍이 3개 있는 모양은 베티 수 1이 3이 됩니다.

토러스와 구멍의 복합적 이해

토러스의 경우 구멍의 개념이 더욱 복잡해집니다. 토러스는 가운데 뚫린 구멍뿐만 아니라, 토러스를 감싸는 방향으로의 구멍과 토러스 전체를 따라가는 방향으로의 구멍까지 총 2개의 구멍을 가지고 있습니다. 따라서 토러스의 베티 퍼스트 넘버는 2입니다. 다만 여기서의 구멍은 지너스의 구멍의 개념과는 조금 다릅니다. 

빨대의 경우도 마찬가지입니다. 빨대는 속이 빈 토러스의 형상으로도 볼 수 있는데요, 빨대를 위에서 눌러서 납작하게 만납작한 토러스의 형상으로서, 이는 구멍이 1개인 모양이 됩니다. 이처럼 베티 수는 직관적으로 눈에 보이는 구멍의 개수라고 이해할 수 있습니다.

여기서 중요한 것은 속이 비어 있는 것과 차 있는 것은 완전히 다른 공간이라는 점입니다. 속이 빈 도넛 안에 있는 개미는 바깥으로 절대 나올 수 없지만, 평면 위에 있는 공간에서는 개미가 자유롭게 왔다 갔다 할 수 있습니다. 공간을 구분하는 구획이 있고 없음에 따라 완전히 다른 불변량을 가지게 됩니다.

베티 수의 실용적 가치: 계산 가능성

베티 수의 가장 중요한 특징은 계산 가능하다는 점입니다. 구멍이 몇 개인지 세는 것은 눈에 보여야만 가능하지만, 베티 수는 눈에 보이지 않더라도 대수적으로 계산할 수 있습니다. 데이터만 있으면 계산이 가능하기 때문입니다.

이러한 특성은 빅데이터 분석에서 특히 유용합니다. 너무나 많은 데이터들의 불변량이 무엇인지 직관적으로 알 수 없지만, 베티 수를 계산할 수 있게 되면 그 결과로부터 데이터의 구조를 추정할 수 있게 됩니다.

마무리 하며

베티 수는 공간의 위상적 성질을 수치로 표현하는 강력한 도구입니다. 베티 수 0은 덩어리의 개수를, 베티 수 1은 구멍의 개수를 나타내며, 더 높은 차원의 베티 수들도 존재합니다. 비록 완전한 이해를 위해서는 깊이 있는 수학적 지식이 필요하지만, 이 개념의 핵심은 눈에 보이지 않는 데이터에서도 계산을 통해 공간의 구조를 파악할 수 있다는 점입니다.

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CC BY 라이선스 / 교정 SENTENCIFY / 에디터 하윤아