📌 먼치 POINT

✅ 푸앵카레 추측의 어려움
- 100년간 해결되지 못한 밀레니엄 난제인 ‘푸앵카레 추측’
- 사용 가능한 원소가 하나 뿐인 단순 연결 조건으로 인해 해결에 어려움

✅ 리치 흐름 방정식
- 임의로 주어진 3차원 공간을 예쁘게 변형
- 미분방정식을 사용하여, 기존에 연구해온 위상수학자들의 충격과 실망

✅ 페렐만의 수상 거부
- 해당 증명은 5~6년 후 인정
- 이후 페렐만의 필즈상 및 상금 거부
- 영혼 추측 해결 관련 수상 또한 거부

전통적 접근법의 한계

푸앵카레 추측을 지난 100여 년 동안 수많은 사람들이 연구했습니다. 수많은 연구자들이 가장 어려워했던 점은 바로 단순 연결되어 있다는 조건 때문이었습니다. 단순 연결이란 기본군의 원소가 하나뿐인 상태를 의미합니다. 원소가 하나밖에 없으니 활용할 수 있는 조건이 너무 적어서, 어디서부터 시작해야 할지조차 막막한 상황이었습니다.

리차드 해밀턴의 혁신적 접근법

그런데 해결책은 다소 예상치 못한 부분에서 나타났습니다. 리차드 해밀턴이라는 수학자가 완전히 새로운 관점을 제시했습니다. 그는 임의로 주어진 복잡한 3차원 공간을 예쁜 모양으로 변형시키는 방법을 제안했습니다.
해밀턴이 제시한 것은 '리치 흐름'이라는 방정식이었습니다. 이 방정식은 공간의 진화를 설명하는 방정식으로, 예를 들어 2차원 공간에서 겉으로는 꼬불꼬불해 보이지만, 위상적으로는 2차원 토러스와 같은 공간을 생각해 볼 수 있습니다. 이런 공간의 모양을 리치 흐름 방정식으로 잘 진화시키면 3차원 공간에서 제한적인 경우에 한해 아주 예쁜 반듯한 토러스가 될 것이라는 아이디어였습니다.

미분방정식의 적용 🖋️

이러한 접근법은 거의 100년 가까운 시간 동안 위상수학을 연구해온 수학자들에게 상당한 충격이었습니다. 갑자기 미분방정식을 사용하기 시작했기 때문입니다. 해밀턴부터 시작해서 최종적으로 답을 낸 페렐만까지, 이들의 접근법은 전통적인 위상수학적 방식으로 연구해온 사람들에게 충격과 실망을 동시에 안겨주었습니다.

위상수학자들은 이 문제를 위상수학으로 완벽하게 해결할 수 있다고 생각했지만, 뜻밖에도 미적분이 개입하여 해결되었습니다.이는 위상수학자들이 전통적으로 생각했던 아름다운 풀이가 아니었습니다. 그 이유는 다양한 변수와 복잡한 기술적 문제, 수많은 특이점들이 외과 수술적인 방법으로 해결되었기 때문입니다.

페렐만의 상 거부 사건

페렐만의 증명이 받아들여지는 데는 적어도 5-6년의 시간이 걸렸습니다. 이런 과정에서 매우 순수한 수학자였던 페렐만이 다른 수학자들의 반응을 보고 상처를 받았다는 이야기도 있습니다. 그래서인지 페렐만은 자신의 증명을 학술지에 발표하지 않고 인터넷에만 올렸습니다. 당시 2000년대 초 대학원가에서는 “페렐만이라는 수학자가 인터넷 사이트에 푸앵카레 추측 해법을 올렸다”는 소문이 자자했습니다. 그 증명은 읽기 무척 어려웠지만, 명확한 오류를 찾기도 어려웠고 좋은 아이디어가 있다는 공감대가 형성되었습니다.

결국 대가들이 하나씩 페렐만의 증명이 맞다고 인정하기 시작했고, 페렐만은 필즈상을 수여받게 되었습니다. 하지만 페렐만의 순서가 되자 국제수학연맹 회장이 대신 나와서 페렐만이 수상을 거절했다고 발표했습니다. 페렐만은 "이 문제를 해결하면서 충분히 즐거웠고, 그것으로 자신이 받을 것을 다 받았다"고 생각한다고 밝혔습니다. 밀레니엄 난제에는 100만 달러의 상금이 걸려 있었는데, 당시에는 아직 검증 중이었습니다. 이후 검증이 완료되어 클레이재단에서 100만 달러 수여를 결정했지만, 페렐만은 이 상금도 거부했습니다.

진정한 괴짜 수학자의 모습 💡

페렐만에게는 이미 상을 거부한 전력이 있었습니다. 그는 이전에 '영혼추측(Soul Conjecture)'라는 큰 문제를 해결했는데, 1996년 유럽수학연맹(EMS)에서 이를 인정해 상을 주려 했지만 이미 한 번 거부한 바 있었습니다. 페렐만은 영혼추측을 해결한 것으로 국제수학자대회에서 발표하기도 했습니다. 이미 일류 수학자였던 그는 당시 독특한 모습을 보여주었습니다. 대부분의 수학자들에게 평생 최고의 기회이자 영예인 이 발표에서, 다른 수학자들은 엄청난 준비를 하는 것이 일반적입니다.

하지만 페럴만은 달랐습니다. 당시 기하학 분야에서 "이상한 사람이 발표를 하는데 중요한 문제를 풀었다"는 웅성웅성하는 분위기가 있었다고 합니다. 실제로 페렐만은 손톱이 10cm 정도 길고, 빈 OHP 필름을 앞사람에게 빌려서 거기에 준비 없이 자신이 하고 싶은 말을 쓰기 시작했다고 합니다. 그럼에도 불구하고 매우 순수하게 엄청난 내용들을 발표했습니다. 

맺으며

페렐만은 정말 우리가 생각하는 괴짜 수학자의 전형을 보여준 인물입니다. 그의 푸앵카레 추측 해결은 수학사에 큰 획을 그었지만, 동시에 전통적인 위상수학적 접근법에서 벗어난 혁신적인 방법론의 승리이기도 했습니다. 명예와 부를 거부하고 오직 수학 자체에만 몰두한 그의 모습은 진정한 학자정신이 무엇인지를 보여주는 대표적인 사례로 남아있습니다.

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CC BY 라이선스 / 교정 SENTENCIFY / 편집자 하윤아