📌 먼치 POINT

✅ 삼체문제
- 오스카 2세의 60세 생일을 기념해 낸 문제 중 일부
- 푸앵카레가 국제적인 명성을 얻게 된 이유
- ‘태양계가 안정적이다’라는 기존의 논문과 정반대의 결론이 나옴
- ‘나비효과 연구’의 시초

✅ 푸엥카레 추측
- 3차원 공간의 분류에 관한 내용
- 3차원 구의 공간은 유한하고 끝이 없으며, 단순 연결된 공간

✅ 푸엥카레 추측의 해결
- 5차원, 4차원, 3차원 순서로 증명
- 총 4명이 해당 문제로 필즈상을 수상
- 고차원에서는 공간을 변형하기 위해 사용 가능한 공간이 넓기 때문에 비교적 해결이 용이

삼체 문제로 시작된 국제적 명성

프랑스의 가장 위대한 수학자 중 하나인 푸앵카레가 국제적인 명성을 처음 얻게 된 것은 삼체 문제를 해결해서였습니다. 최근 넷플릭스에서 화제가 된 바로 그 문제입니다.
스웨덴 오스카 2세 왕이 자신의 60세 생일을 기념해서 국제적인 상을 제정하고 여러 가지 문제를 냈는데, 그중에 가장 중요한 문제 중 하나가 우리 태양계의 안정성이었습니다. 태양계에는 온갖 행성들이 있어서 굉장히 복잡한 중력에 의해서 움직이고 있습니다. 어느 순간 갑자기 태양과 지구가 충돌하거나 달과 지구가 충돌하면 어떻게 될까 하는 태양계의 안정성에 대한 질문이었습니다.

극적인 반전: 오류 발견과 정반대 결론

푸앵카레가 몇 년 동안 열심히 연구를 해서 그 문제를 해결했습니다. 태양계는 안정적이고 절대로 행성들끼리 부딪히는 일은 없다고 논문을 써서 보냈습니다. 그 논문이 당시 액타 마테마티카라는 가장  좋은 저널에 게재되고 상도 만장일치로 수상했습니다. 그런데 몇 개월이 지나서 보니까 그 논문에 많은 오류가 있었습니다. 푸앵카레가 각고의 노력 끝에 다시 해결해서 논문을 보냈는데, 정반대의 결론이었습니다. 

태양계가 안정적인 것은 예측이 불가능하다는 것이었습니다. 천체의 움직임을 mm 단위로 정확하게 잴 수는 없는데, 천체의 움직임이 영원히 안정적인지 아닌지 판단하려면 허용되는 오차 범위가 0이어야 한다는 것입니다. 아주 0.001mm만 틀려도 결론이 달라질 수 있다는 것이 바로 혼돈 이론 또는 나비 효과라 불리는 거대한 연구 분야의 시초였습니다. 푸앵카레는 인쇄된 논문을 다 회수해서 자신의 사비로 새로운 결론을 발표하였습니다.

삼체 문제는 왜 그렇게 어려운가?

삼체 문제는 말 그대로 3개의 물체가 있는 상황으로, 태양-지구-달과 같은 경우입니다. 이체 문제, 즉 태양과 지구만 있는 태양계라면 운동이 굉장히 단순하고 고등학교 수준에서도 궤도를 예상할 수 있으며 안정적입니다.
그런데 세 번째가 되면서 문제가 발생하기 시작합니다. 단지 하나가 추가되었을 뿐인데, 각각은 서로를 끌어당겨 예상치 못한 이상하고 복잡한 일들을 만들어냅니다. 

원자를 다룰 때도 마찬가지입니다. 수소 원자는 원자핵과 전자 하나로 이루어진 이체 문제라서 모델이 자주 다뤄지지만, 헬륨은 전자가 2개라서 삼체 문제가 되어 모델을 예상하기 힘들고 계산도 어려워집니다. 이체 문제와 삼체 문제는 단지 하나가 늘어난 것이 아니라 난이도의 증가로 따지면 몇십만 배 늘어나는 것입니다.

푸앵카레 추측의 탄생

푸앵카레는 3차원 공간에 대한 생각을 하기 시작했습니다. 위상 수학에 대해서 총 7개의 논문을 썼는데, 하나는 미리 알려주는 프리뷰 같은 것이었고, 하나의 제대로 된 위상수학 논문을 쓴 후 거기에 실린 많은 오류와 부족한 부분을 메꾸기 위해서 5개를 더 썼습니다. 푸앵카레로서는 굉장히 예외적인 일이었습니다. 

푸앵카레는 한 번 쓴 글은 거의 고치지 않는 것으로 알려져 있는데, 이 경우에는 중요한 실수여서 그랬는지 5개를 더 쓰고 그 이후로는 위상수학에 대한 논문을 쓰지 않았습니다. 그 논문에 나오는 내용이 결국 3차원 공간의 분류 문제였습니다. 유한하고 끝이 없는 공간 중에서도 단순 연결된 공간의 분류에 대해서 생각했습니다.

3차원 구를 이해하는 방법

푸앵카레는 처음에 이 문제를 당연하게 생각했습니다. 2차원 구면을 벌레가 어떻게 생각할 수 있는지 살펴보면, 2개로 나뉘어진 원판이 있고 이들의 경계는 동그라미이므로 원 2개에 해당하는 점을 붙여서 얻어지는 공간이 바로 구면입니다. 벌레에게는 이것이 가장 자연스럽고 정확한 구면에 대한 기술입니다. 우리도 마찬가지입니다. 평형을 감각하는 세반고리관이 딱 3개밖에 없고, 우리 몸 자체가 3차원에서 진화해 왔기 때문에 3차원만 볼 수 있습니다.

3차원 구는 2개의 속이 꽉 찬 공을 생각하면 됩니다. 이 공의 경계는 껍데기, 즉 2차원 구면입니다. 2개의 2차원 구면을 붙이는 것인데, 우리 머릿속에는 붙일 수 없지만 수학적으로는 할 수 있습니다. 그렇게 얻어지는 공간이 3차원 구입니다.
바다를 떠난 기차가 왼쪽 공을 떠난 순간 오른쪽 공으로 이동하고, 북극 근처에서 빨간 로켓이 떠나는 순간 오른쪽 공의 북극 근처로 들어옵니다. 이렇게 2개의 공이 붙어 있는 공간이 3차원 구입니다. 이는 유한하고 끝이 없고 단순 연결된 공간의 예입니다

푸앵카레 추측: "너무 먼 곳으로 데려갈 질문"

푸앵카레는 그런 조건을 만족하는 3차원 공간은 3차원 구밖에 없다고 너무 당연하게 받아들였습니다.그러다가 논문을 써가고 5개의 보충 논문을 쓰면서 그것이 실은 당연하지 않다는 것을 깨닫게 되었습니다. 그래서 다섯 번째 보충 논문의 마지막 문장이 이것이 실은 왜 자명하지 않은지, 왜 어려운 문제인지 약간 설명을 한 다음에 "그런데 이러한 질문은 우리를 너무 먼 곳으로 데려갈 것이다"라는 한 문장으로 끝납니다. 이것이 한 사람이 평생 써야 할 에너지를 다 쓰고 소진될 정도의 문제라는 뜻이었습니다.

푸앵카레 추측의 해결 과정

5차원 이상에서의 푸앵카레 추측, 즉 단순 연결인 것은 결국 그보다 높은 차원의 구밖에 없다는 것을 증명한 사람이 스메일입니다. 5차원 이상에서의 푸앵카레 추측을 증명하여 필즈상까지 수상한 그는 이후 해당 분야를 떠났습니다. 푸앵카레 추측으로만 필즈상이 4개 정도 나왔습니다. 5차원 이상을 증명한 스메일도 받았고, 4차원을 증명한 프리드만도 받았고, 그리고 3차원을 증명한 페렐만도 받았습니다. 그래서 4명이 이 문제로 필즈상을 받았고, 필즈상을 대량 배출한 문제입니다.

왜 고차원이 먼저 풀렸을까?

푸앵카레의 추측은 3차원 구에 대한 것이었는데, 기본적으로 5차원 구에 대한 것이 더 먼저 풀렸고, 그다음에 4차원 구가 풀렸으며, 가장 최근에 3차원이 풀렸습니다. 3차원이 가장 난해했던 것입니다. 고차원에서는 공간을 좀 더 간단한 모양으로 바꾸는 작업이 필요합니다. 

곱셈 구조를 가진 형태로 바꾸기 위한 변형 작업들, 즉 어떤 공간을 떼서 붙이고 돌리는 작업을 해야 하는데, 고차원에서는 그것이 움직일 공간이 좀 더 많았습니다. 예를 들어서 평면에 있으면 가위가 자를 넘어가기 힘들지만, 3차원에 있으면 간단하게 넘어갈 수 있는 것과 같은 원리입니다. 고차원에서는 이런 변형의 여지가 좀 더 많았던 것입니다.

마무리하며

푸앵카레는 삼체 문제를 통해 혼돈 이론의 문을 열었고, 3차원 공간에 대한 깊은 사색을 통해 20세기 수학의 가장 중요한 문제 중 하나인 푸앵카레 추측을 제시했습니다. 푸앵카레의 예견대로, 이 질문은 정말로 인류를 수학의 깊은 곳까지 데려간 위대한 여정이었습니다.

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CC BY 라이선스 / 교정 SENTENCIFY / 편집자 하윤아