교육

수학 개념공부 이렇게 하고 계시죠?

대치동캐슬2025.07.30

목차 📚

📌 먼치 POINT

개념 공부의 문제점과 필요성

개념 공부를 문제 풀이 전 단계로만 인식해 깊이 있는 학습 없이 넘어가는 경우 많음
이로 인해 개념 간 연결을 못 하고, 조금만 응용돼도 문제를 해결하지 못하는 현상 발생

백지 개념 테스트의 효과와 방법

개념을 정리해 백지에 써보거나 말해보는 학습법은 개념의 구조적 이해와 장기 기억에 도움
말하기를 병행하면 학생의 이해도를 정확히 파악할 수 있고, 시험 대비 복습에도 효율적

성공 사례와 실천 조언

실제로 성적이 크게 오른 경험자들이 존재하며, 수학 외 타 과목에도 적용 가능
완벽하게 시작하려 하기보다 일단 시도해보고, 반복 속에서 자연스러움을 키우는 것이 중요

들어가기 전에

안녕하세요. 여러분들의 수학 공부를 돕는 대치동 캐슬 고대원 선생님입니다.
오늘은 개념 공부에 대한 이야기를 백지 개념 테스트를 가장 열심히 하시는 김정우 선생님과 함께 나눠보겠습니다. 학생과 학부모님들 모두 개념 공부가 필요하다고는 생각하고 있습니다. 수학의 개념 공부가 필요 없을 수는 없으니까요. 하지만 대부분의 개념 공부 방식에는 중요한 문제가 있습니다.

일반적인 개념 공부의 문제점

대부분의 학생들은 개념을 공부할 때 기본적으로 개념을 그냥 처음부터 읽어봅니다. 문제집 앞에 있는 개념 원리 내용을 첫 번째부터 읽어보는 정도로 끝난다고 생각합니다.

하지만 더 큰 문제가 있습니다. 시험이란 결국 문제 풀이입니다. 그래서 많은 학생이나 학부모님들이 개념 공부를 ‘문제 풀이를 위한 준비 운동’으로 치부한다는 점입니다. 그렇게 되면 수업 시간에 필기는 하되, 이것을 한 데 모아놓지 않거나, 나중에 시험 보기 전에 이걸 챙겨보지 않습니다.

일단 개념 공부를 하긴 하는데, 중요도가 빠져있습니다. 왜냐하면 개념 공부로 시험을 치지는 않기 때문입니다. 그래서 상식적인 선에서 "이 정도 하면 되겠지"라는 생각으로 개념 공부를 적당히 하고 넘어가는 경우들이 많습니다.

개념 공부 부족이 초래하는 구체적인 문제

심도 있게 공부를 하지 않으면 어떤 문제가 생길까요? 근의 공식을 예로 들어보겠습니다.
근의 공식을 유도하는 과정은 기본적으로 공부 과정에 들어가는 내용이지만, 그것을 제대로 공부하지 않는 경우가 많습니다. 그래서 근의 공식을 유도할 수 있었다면 간단히 풀 수 있는 문제들을 아예 못 풉니다. 새로운 문제처럼 생소하게 다가가는 것입니다. 수업 때 다 했던 내용들인데도 못 푸는 것을 보면, 확실히 학생들이 그냥 공식만 암기하려고 하지 내용을 제대로 보려고 하지 않는다는 생각이 듭니다.

학생들은 근의 공식이 “ x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a “ 라는 것을 알고 있습니다. 그런데 이것을 유도하는 과정을 잘 모릅니다. 그 뒤에 판별식이라고 해서 개수가 2개, 1개, 0개가 나오는 경우가 있는데 그 원리를 잘 모릅니다. 그 뒤에 나오는 “ a+b = -b/a “ 라는 근과 계수와의 관계 내용도 마찬가지입니다.

근의 공식 유도를 잘 알기만 하면 이 내용들을 한꺼번에 다 이해할 수 있습니다. 그런데 근의 공식 유도를 안 해오면 근의 공식 따로, 판별식 따로, 근과 계수와의 관계를 따로따로 외워야 됩니다. 그리고 나서 개념 공부를 잘 하지 못하면 문제가 조금 더 어려워져서 이 두 개를 섞어서 문제를 내면 그 문제는 못 푸는 것입니다.

개념 공부를 안 해도 어느 정도 수준까지는 올라갈 수 있습니다. 하지만 상위권에서 최상위권으로 도약하기 위한 격차를 넘는 건 사실상 어렵다고 생각합니다.

백지 개념 테스트의 놀라운 효과

실질적으로 몇 년 동안 백지 개념 테스트를 시켰더니 학생들에게 느끼는 변화가 있었습니다. 백지 개념 테스트란 학생들이 한 과정을 끝났을 때, 내가 외운 개념들이 깔끔하게 노트 한 권으로 정리되어 있는 것입니다.

그러면 학생들이 무슨 느낌을 받을까요? 개념이라는 게 예전에는 모호해서 어디서부터 어디까지 외워야 될지 감이 없었습니다. 그런데 이제는 한 과정에 5~6페이지 정도의 내용을 내가 깨끗하게 외우는 데 성공했습니다. 이를 통해 나는 개념 공부를 확실히 했다는 자신감이 생깁니다.

무엇보다 실질적으로 나중에 중간고사, 기말고사, 혹은 다른 학원 입학 테스트를 볼 때 개념을 배웠던 과정의 기억을 다시 떠올려내야 됩니다. 그런데 그 기억을 되살리기 위해 다른 친구들은 문제집을 새로운 마음으로 새로운 문제집을 다시 풀기 시작하는 반면, 나는 내가 썼던 증명과 내가 외웠던 내용들을 한번 써보면서 기억을 되살리면 됩니다. 그편이 속도가 훨씬 빠르기 때문입니다.

백지 개념 테스트를 하는 것은 처음 개념을 배울 때도 도움이 되지만, 나중에 이 지식을 활용해서 시험 준비를 할 때도 훨씬 더 높은 효율을 나타낼 수 있습니다.

다른 과목으로의 확장과 성공 경험

얼마 전에 피드백을 받았습니다. 한 학생이 이 백지 개념 공부 방법을 다른 과목에다 적용했다고 하더라고요. 이것이 되게 긍정적인 사례라고 생각합니다.

학생 입장에서는 이 방법이 효과가 있다라는 확신이 들어야, 그걸 다른 과목으로 확장할 수 있습니다. 내가 개념을 이렇게 정리를 해서 외워서 공부할 정도로 확실히 하면, 내가 푸는 수학 문제가 훨씬 더 쉬워지고 성적이 오릅니다. 심지어 다른 과목에도 적용할 수 있다는 확신까지 생깁니다. 그러면 학생이 그다음에는 스스로 백지 노트를 만들 것이라고 생각합니다.

그러나 이 경험을 해본 적이 없는 학생들이 굉장히 많습니다. 실은 공부를 잘한 학생들의 이야기를 들어보면, 대부분의 경우는 이런 과정을 거쳤습니다. 시중에 있는 모든 문제집을 내가 다 풀 수 없기 때문에, 그들이 물어보는 개념을 내가 깔끔하게 정리하고 활용해서 문제를 푸는 것입니다. 그게 체계적이냐 좀 덜 체계적이냐의 차이만 있습니다.

백지 개념 테스트의 구체적인 실행 방법

백지 개념 테스트에 대해서 말씀드리면 우선 필요한 것들이 몇 개가 있습니다. 제일 필요한 거는 학생들이 어디서부터 어디까지 외워야 되는지 알아야 한다는 것입니다. 개념 노트 교재 앞에다 다 붙여놨듯이 해답지가 있어야 됩니다.

여기서부터 여기까지만 깔끔하게 외우면 이 개념이 끝난다는 해답지가 있습니다. 그리고 나서 일주일 동안 그 수업 진도를 나갑니다. 그러면 한 반 페이지 정도의 진도가 나갑니다. 그러니까 그 반 페이지 정도만 내 머릿속에 들어가면 됩니다. 그렇게 개념 공부의 범위를 알려주고, 그 부분을 학생이 외워서 써보거나, 조금 더 나아가서 쓴 것을 말하는 식으로 테스트를 해봅니다.

읽는 이해와 말하는 이해는 차이가 많다고 생각합니다. 그래서 개념을 쓰는 것도 좋지만, 그보다 더 높은 차원이 개념을 말하는 것이라고 생각합니다. 그래서 개념을 말하는 것을 한 10분 정도 실제적으로 합니다. 그 주에 배웠던 내용을 한 시간 정도 공부하고, 강사인 저한테 강의를 하는 것입니다. 어떻게 보면 제가 강의를 받는다는 느낌으로 사실 듣습니다.

학생이 개념을 쓸 때는 사실 이걸 이해해서 썼는지, 암기해서 썼는지, 대충 썼는지 알 수가 없습니다. 하지만 말하는 걸 보면 이 학생의 눈빛과 표정으로 이해도가 정확히 보입니다.

실제 성공 사례와 경험담

저 같은 경우 3수할 때 개념 말하기를 처음 해봤습니다. 공부하던 중 우연히 한 학생을 가르치게 됐습니다. 저는 그때 가르치면서 설명하는 공부를 처음 해본 것입니다. 직접 선생님이 수업을 해야 되니까요.
그 과정에서 제가 그냥 읽고 말았던 것과 말하는 것 사이에 차이가 엄청 많다는 것을 개인적으로 크게 느꼈습니다. 그래서 그때의 경험을 백지 개념 말하기에 학원 시스템에 녹여서 하고 있는 편입니다.

실제로 그때 봤던 시험 성적이 되게 많이 올랐습니다. 보통 1등급씩 올리기도 힘들다라고 하는데, 마지막 시험에는 그래서 국어 빼고 다 1등급을 받고 마무리했습니다. 그래서 전액 장학금도 다 받을 수 있었습니다. 그 비결 중에 하나가 백지 말하기였습니다.

실은 백지 개념 테스트를 한 게 약 10년 전입니다. 학원 선생님이 됐을 때부터 시켰습니다. 그때는 이게 되게 비주류였습니다. 왜냐하면 문제 푸는 것이 중요하지, 개념을 써서 외워서 교재를 만드는 것까지는 되게 유별나다라는 평가를 꽤 받았었습니다. 그런데 지금은 이 방법이 굉장히 많이 대중화가 되었습니다. 이런 방향이 주류가 된 게 되게 개인적으로는 뿌듯합니다.

시작하는 방법과 실용적 조언

이 영상을 보시는 분들이 새로운 방법을 써보거나 공부 시간을 늘리는데 거부감을 느낄 수 있습니다. 하지만 단언컨대 말씀을 드리면, 전문가이기 때문에 엄격한 기준을 가지고 백지 테스트를 하지만, 학원이 아니라 집에서 하실 때는 그저 테스트를 시도하는 것만으로도 충분합니다.
백지 개념 테스트를 시도하냐 안 하냐가 굉장히 큰 차이가 납니다. 백지 개념 테스트를 얼만큼의 완성도로 하느냐는 그다음 문제라고 생각합니다.

종종 하는 비유가 있습니다. 자동차가 있냐 없냐가 중요하지, 그 자동차가 어떤 종류인가는 그것보다 훨씬 더 덜 중요하다는 것입니다. 자동차 비유처럼, 내가 개념을 얼마나 잘 배웠냐보다, 내가 배운 개념을 다시 떠올려서 점검하겠다는 마음가짐을 갖는 게 훨씬 더 중요합니다.

두려워하지 말고 일단 해보는 게 중요하다고 생각합니다. 처음에 무조건 해보면 뭔가 길이 보일 것입니다. 너무 어렵게 생각하지 마세요. 그냥 내가 개념을 정리해서 말해본다라고 생각하고 해보시면 좋을 것 같습니다.

미리 말씀을 드리면 처음 성과는 생각보다 처참할 것입니다. 왜냐하면 안 해봤으니까요. 그러니까 이게 완전 새로운 영역의 발을 디디는 것처럼 어색할 수 있습니다. 그런데 그 어색함이 자연스러워지면 내 실력은 무조건 늘 수 있다고 장담합니다. 그렇게 믿으신다면 충분히 도전할 수 있는 용기가 생길 것이라고 생각합니다.